- 1 -
專題限時集訓
(
五
)
概率
[
專題通關練
]
(
建議用時：
30
分鐘
)
1
．
[
一題多解](2019·全國卷Ⅲ)《西游記》
《三國演義》
《水滸傳》和《紅樓夢》是中國
古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，
隨機調查了
100
位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有
90
位，閱讀過《紅
樓夢》的學生共有
80
位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有
60
位，則該校
閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為
(
)
A
．
0.5
B
．
0.6
C
．
0.7
D
．
0.8
C
[
法一：
設調查的
100
位學生中閱讀過
《西游記》
的學生人數為
x
，
則
x
＋
80
－
60
＝
90
，
解得
x
＝
70
，
所以該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為
70
100
＝
0.7.
故選
C.
法二：用
Venn
圖表示閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數之間的關系如圖：
易知調查的
100
位學生中閱讀過
《西游記》
的學生人數為
70
，
所以該校閱讀過
《西游記》
的學生人數與該校學生總數比值的估計值為
70
100
＝
0.7.
故選
C.]
2
．已知定義在區間
[
－
3,3]
上的函數
f
(
x
)
＝
2
x
＋
m
滿足
f
(2)
＝
6
，在
[
－
3,3]
上任取一個
實數
x
，則使得
f
(
x
)
的值不小于
4
的概率為
(
)
A.
1
6
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
B
[
∵
f
(2)
＝
6
，∴2
2
＋
m
＝
6
，解得
m
＝
2.
由
f
(
x
)≥4，得
2
x
＋2≥4，即
x
≥1，而
x
∈[－
3,3]
，
故根據幾何概型的概率計算公式，得
f
(
x
)
的值不小于
4
的概率
P
＝
2
6
＝
1
3
故選
B.]
3
．標有數字
1,2,3,4,5
的卡片各
1
張，從這
5
張卡片中隨機抽取
1
張，不放回地再隨機
抽取
1
張，則抽取的第
1
張卡片上的數大于第
2
張卡片上的數的概率為
(
)
A.
1
2
B.
1
5
C.
3
5
D.
2
5
A
[5
張卡片上分別寫有數字
1,2,3,4,5
，
從這
5
張卡片中隨機抽取
2
張，
基本事件的總
數
n
＝5×4＝
20
，抽得的第
1
張卡片上的數大于第
2
張卡片上的數的情況有：
(2,1)
，
(3,1)
，
(3,2)
，
(4,1)
，
(4,2)
，
(4,3)
，
(5,1)
，
(5,2)
，
(5,3)
，
(5,4)
，共
10
種．故抽取的第
1
張卡
- 2 -
片上的數大于第
2
張卡片上的數的概率
P
＝
10
20
＝
1
2
，故選
A.]
4
．
(2019·鄭州模擬
)
在區間
(0,2)
內隨機取一個實數
a
，
則滿足
?
?
?
?
?
2
x
－
y
≥0，
y
≥0，
x
－
a
≤0
的點
(
x
，
y
)
構成區域的面積大于
1
的概率是
(
)
A.
1
8
B.
1
4
C.
1
2
D.
3
4
C
[
作出約束條件
?
?
?
?
?
2
x
－
y
≥0，
y
≥0，
x
－
a
≤0
表示的平面區域如圖中陰影部分
所示，則陰影部分的面積
S
＝
1
2
×
a
×2
a
＝
a
2
＞
1
，∴1＜
a
＜
2
，根據幾何概型的概率計算公式得
所求概率為
2
－
1
2
－
0
＝
1
2
，故選
C.]
5
．
《九章算術》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何．”其
大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為
8
步和
15
步，問其內切圓的直徑為多少步．”現
若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是
(
)
A.
3π
10
B.
3π
20
C
．
1
－
3π
10
D
．
1
－
3π
20
D
[
如圖，直角三角形的斜邊長為
8
2
＋
15
2
＝
17
，設其內切圓的半徑
為
r
，則
8
－
r
＋
15
－
r
＝
17
，解得
r
＝
3
，∴內切圓的面積為
π
r
2
＝9π，∴
豆子落在內切圓外的概率
P
＝
1
－
9π
1
2
×8×15
＝
1
－
3π
20
.]
6
．
(2019·全國卷Ⅱ)我國高鐵發展迅速，
技術先進．
經統計，
在經停某站的高鐵列車中，
有
10
個車次的正點率為
0.97
，
有
20
個車次的正點率為
0.98
，
有
10
個車次的正點率為
0.99
，
則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為
________
．
0
．
98
[
x
＝
10×0.97＋20×0.98＋10×0.99
10
＋
20
＋
10
＝
0.98.
則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為
0.98.]
7
．已知實數
x
，
y
滿足
|
x
|≤3，
|
y
|≤2，則任取其中的一對實數
x
，
y
，使得
x
2
＋
y
2
≤4
的概率為
________
．