第十一單元
概率
K1
隨事件的概率
18
．
K1
，
K6
，
K8
[2016·
全國卷Ⅱ
]
某險種的基本保費為
a
(
單位：元
)
，繼續購買該險種
的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：
上年度出險次數
0
1
2
3
4
≥
5
保費
0.85
a
a
1.25
a
1.5
a
1.75
a
2
a
隨機調查了該險種的
200
名續保人在一年內的出險情況，得到如下統計表：
出險次數
0
1
2
3
4
≥
5
頻數
60
50
30
30
20
10
(1)
記
A
為事件“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求
P
(
A
)
的估計值；
(2)
記
B
為事件“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的
160%
”
，求
P
(
B
)
的估計值；
(3)
求續保人本年度平均保費的估計值．
18
．
解：
(1)
事件
A
發生當且僅當一年內出險次數小于
2.
由所給數據知，一年內出險次
數小于
2
的頻率為
60
＋
50
200
＝
0.55
，故
P
(
A
)
的估計值為
0.55.
(2)
事件
B
發生當且僅當一年內出險次數大于
1
且小于
4.
由所給數據知，一年內出險次
數大于
1
且小于
4
的頻率為
30
＋
30
200
＝
0.3
，故
P
(
B
)
的估計值為
0.3.
(3)
由所給數據得
保費
0.85
a
a
1.25
a
1.5
a
1.75
a
2
a
頻率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
調查的
200
名續保人的平均保費為
0
．
85
a
×
0.30
＋
a
×
0.25
＋
1.25
a
×
0.15
＋
1.5
a
×
0.15
＋
1.75
a
×
0.10
＋
2
a
×
0.05
＝
1.192 5
a
.
因此，續保人本年度平均保費的估計值為
1.192 5
a
.
K2
古典概型
3
．
K2
[2016·
全國卷Ⅰ
]
為美化環境，從紅、黃、白、紫
4
種顏色的花中任選
2
種花種
在一個花壇中，
余下的
2
種花種在另一個花壇中，
則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是
(
)
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
5
6
3
．
C
[
解析
]
從
4
種顏色的花中任選
2
種種在一個花壇中，余下
2
種種在另一個花壇
中，有
6
種種法，其中紅色和紫色的花在一個花壇的種法有
2
種，故所求概率
P
＝
4
6
＝
2
3
.
5
．
K2
[2016·
全國卷Ⅲ
]
小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位
是
M
，
I
，
N
中的一個字母，第二位是
1
，
2
，
3
，
4
，
5
中的一個數字，則小敏輸入一次密碼
能夠成功開機的概率是
(
)
A.
8
15
B.
1
8
C.
1
15
D.
1
30
5
．
C
[
解析
]
由古典概型公式得所求概率
P
＝
1
×
1
3
×
5
＝
1
15
.
6
．
J2
，
K2
[2016·
北京卷
]
從甲、
乙等
5
名學生中隨機選出
2
人，
則甲被選中的概率為
(
)
A.
1
5
B.
2
5
C.
8
25
D.
9
25
6
．
B
[
解析
]
甲被選中的概率為
C
1
4
C
2
5
＝
2
5
.
7
．
K2
、
K4
[2016·
江蘇卷
]
將一顆質地均勻的骰子
(
一種各個面上分別標有
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
個點的正方體玩具
)
先后拋擲
2
次，則出現向上的點數之和小于
10
的概率是
________
．
7.
5
6
[
解析
]
本題為古典概型，基本事件共有
36
個，點數之和大于等于
10
的有
(4
，
6)
，
(5
，
5)
，
(5
，
6)
，
(6
，
6)
，
(6
，
5)
，
(6
，
4)
，共計
6
個基本事件，故點數之和小于
10
的有
30
個基本事件，所求概率為
5
6
.
11
．
K2
[2016·
上海卷
]
某食堂規定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩
同學各自所選的兩種水果相同的概率為
________
．
11.
1
6
[
解析
]
將四種水果每兩種分為一組，有
C
2
4
＝
6(
種
)
方法，則甲、乙兩位同學各自
所選的兩種水果相同的概率為
1
6
.
13
．
J1
，
K2
[2016·
四川卷
]
從
2
，
3
，
8
，
9
中任取兩個不同的數字，分別記為
a
，
b
，則
log
a
b
為整數的概率是
________
．
13.
1
6
[
解析
]
由題意可知，
(
a
，
b
)
可能的情況有
(2
，
3)
，
(2
，
8)
，
(2
，
9)
，
(3
，
2)
，
(3
，
8)
，
(3
，
9)
，
(8
，
2)
，
(8
，
3)
，
(8
，
9)
，
(9
，
2)
，
(9
，
3)
，
(9
，
8)
，共
12
種情況，其中只有
(2
，
8)
，
(3
，
9)
滿足題意，故所求概率為
2
12
＝
1
6
.
16
．
K2
[2016·
山東卷
]
某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動．參加活動的
兒童需轉動如圖
1-
4
所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域
中的數．設兩次記錄的數分別為
x
，
y
獎勵規則如下：
①若
xy
≤
3
，則獎勵玩具一個；
②若
xy
≥
8
，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶．
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻．小亮準備參加此項活動．
(1)
求小亮獲得玩具的概率；
(2)
請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．
圖
1-
4
16
．
解：
用數對
(
x
，
y
)
表示兒童參加活動時先后記錄的數，則基本事件空間
Ω
與點集
S