数

学

K

单元

概率

K1 

随事件的概率

13

．

[2014·

新课标全国卷Ⅱ

] 

甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝

3

种颜色的

运动服中选择

1

种，则他们选择相同颜色运动服的概率为

________

．

13.

1

3

[

解析

] 

甲有

3

种选法，乙也有

3

种选法，所以他们共有

9

种不同的选法．若他

们选择同一种颜色，则有

3

种选法，所以其对应的概率

P

＝

3

9

＝

1

3

. 

13

．

[2014·

全国新课标卷Ⅰ

] 

将

2

本不同的数学书和

1

本语文书在书架上随机排成一行，

则

2

本数学书相邻的概率为

________

．

13.

2

3

[

解析

] 2

本数学书记为数

1

，数

2

，

3

本书共有

(

数

1

数

2

语

)

，

(

数

1

语数

2)

，

(

数

2

数

1

语

)

，

(

数

2

语数

1)

，

(

语数

1

数

2)

，

(

语数

2

数

1)6

种不同的排法，其中

2

本数学书相邻

的排法有

4

种，对应的概率为

P

＝

4

6

＝

2

3

. 

14

．

[2014·

浙江卷

] 

在

3

张奖券中有一、二等奖各

1

张，另

1

张无奖．甲、乙两人各抽

取

1

张，两人都中奖的概率是

________

．

14.

1

3

[

解析

] 

基本事件的总数为

3

×

2

＝

6

，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只

有

2

种情况，所以两人都中奖的概率

P

＝

2

6

＝

1

3

. 

19

．

[2014·

陕西卷

] 

某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车

辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额

(

元

)

0

1000

2000

3000

4000 

车辆数

(

辆

)

500

130

100

150

120 

(1)

若每辆车的投保金额均为

2800

元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)

在样本车辆中，车主是新司机的占

10%

，在赔付金额为

4000

元的样本车辆中，车主

是新司机的占

20%

，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为

4000

元的概率．

19

．

解：

(1)

设

A

表示事件“赔付金额为

3000

元”，

B

表示事件“赔付金额为

4000

元”，

以频率估计概率得

P

(

A

)

＝

150

1000

＝

0.15

，

P

(

B

)

＝

120

1000

＝

0.12. 

由于投保金额为

2800

元，所以赔付金额大于投保金额的概率为

P

(

A

)

＋

P

(

B

)

＝

0.15

＋

0.12

＝

0.27. 

(2)

设

C

表示事件“投保车辆中新司机获赔

4000

元”，

由已知，

得样本车辆中车主为新

司机的有

0.1

×

1000

＝

100(

辆

)

，

而赔付金额为

4000

元的车辆中，

车主为新司机的有

0.2

×

120

＝

24(

辆

)

，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为

4000

元的频率为

24

100

＝

0.24.

由频率估计概

率得

P

(

C

)

＝

0.24. 

16

．

、

[2014·

四川卷

] 

一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字

1

，

2

，

3

，这三张卡片

除标记的数字外完全相同．

随机有放回地抽取

3

次，

每次抽取

1

张，

将抽取的卡片上的数字

依次记为

a

，

b

，

c

. 

(1)

求“抽取的卡片上的数字满足

a

＋

b

＝

c

”的概率；

(2)

求“抽取的卡片上的数字

a

，

b

，

c

不完全相同”的概率．

16

．

解：

(1)

由题意，

(

a

，

b

，

c

)

所有的可能为：

(1

，

1

，

1)

，

(1

，

1

，

2)

，

(1

，

1

，

3)

，

(1

，

2

，

1)

，

(1

，

2

，

2)

，

(1

，

2

，

3)

，

(1

，

3

，

1)

，

(1

，

3

，

2)

，

(1

，

3

，

3)

，

(2

，

1

，

1)

，

(2

，

1

，

2)

，

(2

，

1

，

3)

，

(2

，

2

，

1)

，

(2

，

2

，

2)

，

(2

，

2

，

3)

，

(2

，

3

，

1)

，

(2

，

3

，

2)

，

(2

，

3

，

3)

，

(3

，

1

，

1)

，

(3

，

1

，

2)

，

(3

，

1

，

3)

，

(3

，

2

，

1)

，

(3

，

2

，

2)

，

(3

，

2

，

3)

，

(3

，

3

，

1)

，

(3

，

3

，

2)

，

(3

，

3

，

3)

，共

27

种．

设“抽取的卡片上的数字满足

a

＋

b

＝

c

”为事件

A

，

则事件

A

包括

(1

，

1

，

2)

，

(1

，

2

，

3)

，

(2

，

1

，

3)

，共

3

种，

所以

P

(

A

)

＝

3

27

＝

1

9

. 

因此，“抽取的卡片上的数字满足

a

＋

b

＝

c

”的概率为

1

9

. 

(2)

设“抽取的卡片上的数字

a

，

b

，

c

不完全相同”为事件

B

，

则事件

B

包括

(1

，

1

，

1)

，

(2

，

2

，

2)

，

(3

，

3

，

3)

，共

3

种．

所以

P

(

B

)

＝

1

－

P

(

B

)

＝

1

－

3

27

＝

8

9

. 

因此，“抽取的卡片上的数字

a

，

b

，

c

不完全相同”的概率为

8

9

. 

K2 

古典概型

20

．

，

[2014·

福建卷

] 

根据世行

2013

年新标准，

人均

GDP

低于

1035

美元为低收入国家；

人均

GDP

为

1035

～

4085

美元为中等偏下收入国家；

人均

GDP

为

4085

～

12 616

美元为中等

偏上收入国家；人均

GDP

不低于

12 616

美元为高收入国家．某城市有

5

个行政区，各区人

口占该城市人口比例及人均

GDP

如下表：

行政区

区人口占城市人口比例

区人均

GDP(

单位：美元

) 

A

25%

8000 

B

30%

4000 

C

15%

6000 

D

10%

3000 

E

20%

10 000 

(1)

判断该城市人均

GDP

是否达到中等偏上收入国家标准；

(2)

现从该城市

5

个行政区中随机抽取

2

个，求抽到的

2

个行政区人均

GDP

都达到中等

偏上收入国家标准的概率．

20

．

解：

(1)

设该城市人口总数为

a

，则该城市人均

GDP

为

8000

×

0.25

a

＋

4000

×

0.30

a

＋

6000

×

0.15

a

＋

3000

×

0.10

a

＋

10 000

×

0.20

a

a

＝

6400(

美元

)

．

因为

6400

∈

[4085

，

12 616)

，

所以该城市人均

GDP

达到了中等偏上收入国家标准．

(2)

“从

5

个行政区中随机抽取

2

个”的所有的基本事件是：

{A

，

B}

，

{A

，

C}

，

{A

，

D}

，

{A

，

E}

，

{B

，

C}

，

{B

，

D}

，

{B

，

E}

，

{C

，

D}

，

{C

，

E}

，

{D

，

E}

，共

10

个．