高考文科数学概率精细选
1
、
[2014
·
湖
北卷
]
计划在某水库建一座至多安装
3
台发电机的水电站，过去
50
年的水
文资料显示，水年入流量
．．．．
X(
年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米
)
都在
40
以上，其中，不足
80
的年份有
10
年，不低于
80
且不超过
120
的年份有
35
年，超
过
120
的年份有
5
年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，
并假设各年的年入
流量相互独立．
(1)
求未来
4
年中，至多
．．
有
1
年的年入流量超过
120
的概率．
(2)
水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量
X
限制，并有如下关系：
年入流量
X
40 80 ≤ X ≤ 120 X>120 发电机最多 可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解： (1) 依题意， p 1 ＝ P(40 ＝ 10 50 ＝ 0.2 ， p 2 ＝ P(80 ≤ X ≤ 120) ＝ 35 50 ＝ 0.7 ， p 3 ＝ P(X>120) ＝ 5 50 ＝ 0.1. 由二项分布得，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p ＝ C 0 4 (1 － p 3 ) 4 ＋ C 1 4 (1 － p 3 ) 3 p 3 ＝ 0.9 4 ＋ 4 × 0.9 3 × 0.1 ＝ 0.947 7. (2) 记水电站年总利润为 Y( 单位：万元 ) ． ①安装 1 台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于 40 ，故一台发电机运行的概率为 1 ，对应的年利润 Y ＝ 5000 ， E(Y) ＝ 5000 × 1 ＝ 5000. ②安装 2 台发电机的情形． 依题意， 当 40 时，一台发电机运行， 此时 Y ＝ 5000 － 800 ＝ 4200 ， 因此 P(Y ＝ 4200) ＝ P(40 ＝ p 1 ＝ 0.2 ；当 X ≥ 80 时，两台发电机运行，此时 Y ＝ 5000 × 2 ＝ 10 000 ，因此 P(Y ＝ 10 000) ＝ P(X ≥ 80) ＝ p 2 ＋ p 3 ＝ 0.8. 由此得 Y 的分布列如下： Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以， E(Y) ＝ 4200 × 0.2 ＋ 10 000 × 0.8 ＝ 8840. ③安装 3 台发电机的情形． 依题意，当 40 时， 一台发电机运行， 此时 Y ＝ 5000 － 1600 ＝ 3400 ， 因此 P(Y ＝ 3400) ＝ P(40 ＝ p 1 ＝ 0.2 ； 当 80 ≤ X ≤ 120 时， 两台发电机运行， 此时 Y ＝ 5000 × 2 － 800 ＝ 9200 ， 因此 P(Y ＝ 9200) ＝ P(80 ≤ X ≤ 120) ＝ p 2 ＝ 0.7 ；当 X>120 时，三台发电机运行，此时 Y ＝ 5000 × 3 ＝ 15 000 ，因此 P(Y ＝ 15 000) ＝ P(X>120) ＝ p 3 ＝ 0.1. 由此得 Y 的分布列如下： Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以， E(Y) ＝ 3400 × 0.2 ＋ 9200 × 0.7 ＋ 15 000 × 0.1 ＝ 8620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台． 2 、 一款击鼓小游戏的规则如下： 每盘游戏都需击鼓三次， 每次击鼓要么出现一次音乐， 要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分 ( 即获得－ 200 分 ) ．设每次击鼓 出现音乐的概率为 1 2 ，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1) 设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列． (2) 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)
玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加
反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
解：
(1)X
可能的取值为
10
，
20
，
100
，－
200.
根据题意，有
P(X
＝
10)
＝
C
1
3
×
1
2
1
×
1
－
1
2
2
＝
3
8
，
P(X
＝
20)
＝
C
2
3
×
1
2
2
×
1
－
1
2
1
＝
3
8
，
P(X
＝
100)
＝
C
3
3
×
1
2
3
×
1
－
1
2
0
＝
1
8
，
P(X
＝－
200)
＝
C
0
3
×
1
2
0
×
1
－
1
2
3
＝
1
8
.
所以
X
的分布列为：
X
10
20
100
－
200
P
3
8
3
8
1
8
1
8
(2)
设“第
i
盘游戏没有出现音乐”为事件
A
i
(
i
＝
1
，
2
，
3)
，则
P(A
1
)
＝
P(A
2
)
＝
P(A
3
)
＝
P(X
＝－
200)
＝
1
8
.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1
－
P(A
1
A
2
A
3
)
＝
1
－
1
8
3
＝
1
－
1
512
＝
511
512
.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是
511
512
.
(3)
由
(1)
知，
X
的数学期望为
EX
＝
10
×
3
8
＋
20
×
3
8
＋
100
×
1
8
－
200
×
1
8
＝－
5
4
.
这表明，获得分数
X
的均值为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
3
、从
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是
6
的概率为
________
．
1
6
4
、为回馈顾客，
某商场拟通过摸球兑奖的方式对
1000
位顾客进行奖励，
规定：每位顾
客从一个装有
4
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出
2
个球，
球上所标的面值之和为该顾
客所获的奖励额．
(1)
若袋中所装的
4
个球中有
1
个所标的面值为
50
元，其余
3
个均为
10
元，求：
(i)
顾客所获的奖励额为
60
元的概率；
(ii)
顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．
(2)
商场对奖励总额的预算是
60
000
元，并规定袋中的
4
个球只能由标有面值
10
元和
50
元的两种球组成，或标有面值
20
元和
40
元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额
尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，
请对袋中的
4
个球的面值给出一